多秃的头算秃？这是个数学概念

常言说得好：失之毫厘，谬之千里。

一颗人造卫星，要送到地球上空的预定轨道，离不开精密的数学计算。百层摩天大厦能够拔地而起，没有准确的数学计算，也是难以想象的。

数学一向以严密、精确著称。然而，在 20 世纪 60 年代，却偏有一个叫"模糊数学"的数学新分支异军突起。

难道数学计算无须精密准确而需要"模模糊糊"? 当然不是。自然科学的学科，只有当它们能够使用数学语言描述的时候，才谈得上成熟。在恩格斯的那个年代，数学在生物学上的应用还几乎为零。然而如今的生物学，已全然离不开数学。就连 许多社会科学，也在不断追求定量化和数学化。那么，为什么在此时此刻反而半路杀出一个"模糊数学"呢? 这还得从两种不同的概念讲起。

在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如，人、自然数、正方形等。要么是人，要么不是人；要么是自然数，要么不是自然数；要么是正方形，要么不是正方形。非此即彼。

另一类概念对象从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。例如，美不美、早不早、便宜不便宜等。西施是我国古代公认的美女，但有 道是"情人眼里出西施"，这就是说，在一些人看来未必那么美的人，在另一些人眼里，却美得可以与西施相比拟。可见，"美"与 "不美"是不存在一个精确的界限的。

再说"早"与"不早"，清晨 5 点，对于为都市"梳妆打扮"的清洁工人来说可能算是迟了，但对于大多数人来说，却是很早的。至于便宜不便宜，那更是随人的感觉而异了！

在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起 一座桥梁。这就是我们要讲的"模糊数学"。

加速这座桥梁架设的是计算机科学的迅速发展。大家知道，人的大脑具有非凡的判别和处理模糊事物的能力。就拿一个孩子识别自己的母亲为例，即使这位母亲更换了新衣，改变了发型，她的孩子依然会从高矮、胖瘦、音容、姿态等迅速地做出准 确判断。

如果这件事让计算机来干，那就非得把这位母亲的身高、体重、行走速度、外形曲线等，全都计算到小数点后的十几位，然后才能着手判断。这样的"精确"实在是事与愿违，走到了事物的反面。

说不定就因为这位母亲脸上一时长了一个小疖，该部位的平均高度比原来高了零点零几毫米，而使计算机做出"拒绝接受"的判断！难怪模糊数学的创始人、美国加利福尼亚大学教授、自动控制专家 L.A.扎德 (L.A.Zadeh,1921-2017) 说:"所面对的系统越复杂，人们对它进行有意义的精确化的能力就越低。"

他生动地举了一个停车问题的例子，他说，要把汽车停在拥挤停车场的两辆汽车之间的空地上，这对有经验的司机来说，并非什么难事。但若用精确的方法求解，即使是一台大型电子计算机也不容易。

那么，要使计算机能够模仿人脑，对复杂系统进行识别和判断，出路在哪里呢?

扎德教授主张在极度的复杂性面前，从精度方面"后退"一步。他提出用隶属函数使模糊概念数学化。例如 "秃头"，这显然是一种模糊概念。

上图有 5 种头发的类型。

(a) 的头没有一点头发，自属标准"秃头"隶属程度为 1；

(d) 的头是典型秃顶，所以"秃"的隶属程度可定为 0.8；

(c) 的头上，长满了乌黑的头发，根本与"秃"沾不上边，所以"秃"的隶属程度为 0；

(b) 与 (e) 的"秃"，比之 (a)、(d) 则不足，比之 (c) 则有余，隶属程度可分别定为 0.5 和 0.3。

这样"秃"这个模糊概念就可以用以下的方法定量地给出定义: [秃头]=1 / a+0.5 / b+0 / c+0.8 / d+0.3 / e

这里的"+"和"/"，不是通常的相加和相除，只是一种记号。"1 / a" 表明状态 a 的隶属程度为"1"，"+"则表示各种情况的并列。

下面我们再看"年轻"和"年老"这两个模糊概念。

扎德教授本人根据统计资料，拟合了这两个概念的隶属函数图像。图中横坐标表示年龄，纵坐标表示隶属程度。

例如，从坐标图可以看出，50 岁以下的人不属于"年老"，而当年龄超过 50 岁时，随着岁数的增大，"年老"的隶属程度也越来越大。

"人生七十古来稀"，70 岁的人"年老"的隶属程度已达 94%。同样，在 坐标图中我们可以看到，25 岁以下的人，"年轻"的隶属程度为 100%, 超过 25 岁，"年轻"的程度越来越小。40 岁已是"人到中 年"，"年轻"的隶属程度只有 10%。假如有人问你:"你的数学老师年轻吗?"而你的回答却是: "他'年轻'的隶属程度为 25%。"这样的答案自然不会有错，但显然是很别扭的。

为了使人产生一种确切的印象，我们可以固定一个百分数，例如 40%，隶属程度大于或等于 40% 的都叫"年轻"，反之就不叫"年轻"。

在这种前提下，你对你朋友的回答也就是肯定的了，你可以明白地告诉你的朋友，你的数学老师不年轻。因为这时"年轻"一词，已从模糊概念转为明确的概念。

当然，作为隶属程度分界线的那个固定百分数，是应当通过科学的分析，或者通过民意测验的统计来选取的。

再举中国古代史的分期为例，"奴隶社会"是个模糊概念。

[奴隶社会]=1 / 夏 + 1 / 商 + 0.9 / 西周 + 0.7 / 春秋 + 0.5 / 战国 + 0.4 / 秦 + 0.3 / 西汉 + 0.1 / 东汉

取 0.5 的隶属程度作为奴隶社会的划分界限，那么属于奴隶社会的，就该是夏、商、西周、春秋和战国。秦、汉则不属于奴隶社会。

在精确数学中，"非常""很""不"等词是很难用数量加以表述的。但在模糊数学中，却可以让它们定量化。例如，"很"表示隶属程度的平方，"不"则表示用 1 减去原隶属度等。如 30 岁属于"年轻"的隶属程度为 0.5，那么属"很年轻"的隶属程度就只有 (0.5)²=0.25，而"不很年轻"的隶属程度则为 1-(0.5)²= 0.75

上面我们看到，在对事物的模糊性进行定量刻画的时候，同样需要用到概率统计的手段和精确数学的方法。由此可见，"模糊数学"实际上并不模糊。

模糊数学的诞生，把数学的应用领域从清晰现象扩展到模糊现象，从而使数学闯进了许多过去难以达到的"禁区"。用模糊数学的模型来编制程序，让计算机模拟人脑的思维活动，已经在文字识别、疾病诊断、气象预测、火箭发射等方面获得了成功，前景十分诱人。

我国研究模糊数学虽然只有短短几十年，但这门新兴的学科发展极快，表现出了强大的生命力。目前，该学科在工业、农业和国防技术的应用方面，已经初露锋芒！

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南 张昶，编辑：张润昕