如何让两本书如胶似漆难舍难分？

你可能有这种体验，当你赶着出门时，往常能随手带上的门锁突然不听话了，用力再带，还是不行！它跟你杠上了。无奈，你只好按下锁舌才把门带上。

这个看起来很平常的事情，背后的原因是什么呢？可能你无暇思考也不感兴趣。然而，与之相关的另一件事，你可能听说过且饶有兴趣，它就是关于两本书交错相叠后能抵抗巨大的拉力的那件事。

01、一个广为人知的实验

这个实验很好做。按如下图所示，将两本厚书按页交错叠在一起，然后用力往两边拉。结果发现：你可能会拉开它们，但非常费力，但也可能根本无法拉开！

这件事早在几百年前就引起人们的强烈兴趣，人们陆续给出了多种解释。很多人为此尝试各种实验并发表专题研究论文。

2011 年，美国发现频道的 MythBusters 做了一个验证实验。他们把两本厚度高达 800 页的书一页一页的交叠好，然后尝试拉开两本书。

他们先尝试了二人对拉，当然失败了。

于是他们用高强度的木板夹住书脊，并连上抗拉力极强的绳子，然后找了一些人一起拉，结果也无法拉开。

接着他们用铁板把书脊固定，连上很粗的铁链，并尝试用汽车拉，可还是失败！

直到最后，他们使用了一辆装甲运兵车和一辆轻型坦克对拉，才最终将两本书分开。

2016 年，来自法国的研究人员就此问题展开研究。在他们的实验中，两本页面交错的电话本之间的静摩擦力，竟足以吊起一辆汽车！

他们的研究表明，系统所能承受的拉力由纸张数量、厚度以及重叠区域的宽度决定，并随着交叠的书页数量增大而急剧增大。他们的研究结果发表在国际物理顶级期刊 PHYSICAL REVIEW LETTERS 上 [1]。

那么，这背后起作用的物理机制到底是什么呢？

有人说，培根不是说过嘛 -- 知识就是力量！不得不说，这个机灵的确抖得还算可以滴！

正经点说，这背后的原因有几个方面，其中最主要是摩擦自锁作用，下面先来讲讲什么是摩擦自锁。

02、什么是摩擦自锁？

根据库仑模型，最大静摩擦力 与正压力 的合力与正压力之间的夹角的正切值等于静摩擦系数 ，如下图所示。

这个与 对应的特殊角被称之为摩擦角，用 表示，即 很显然，当重力 和拉力 的合力与与竖直方向的夹角 大于 时，拉力 将超过最大静摩擦力 ，物体被拉动；反之，物体将始终保持静止。

更一般的，若把重力和拉力这些主动作用的力合在一起，称之为主动力 ，那么对一个具有确定的静摩擦系数 的平面来说，当主动力与平面的法线夹角 满足

时，物体将始终保持静止。如下图所示，只要主动力的方向不超出圆锥面，物体将一直保持静止。

如果用更直观的语言解释就是：虽然主动力不断增加，但正压力也在随之增加，使得最大静摩擦力始终不被超过，从而维持了平衡。

打个比方，有个女士很能花钱，她的朋友都觉得她可能会很快把她劳工的家底败完。可是她劳工变压力为动力，赚钱的能力是随着她花钱的能力增长，而她也恰到好处的保持花钱增长率低于劳工的赚钱增长率，结果，她的哪些姐妹仍旧看到她家还是越来越有钱。

所以，花钱就像摩擦力一样，只要保持在财富角之内，你的财富能被锁定为只增加而不减少。

空说无凭，下面再举一些物理中更具体的例子。

03、摩擦自锁的那些事

第一个是关于斜面上的摩擦力的。如下图所示，设滑块与斜面间的静摩擦系数为 ，那么斜面的倾角 如何取值时，能确保滑块不滑下？

重力是唯一的主动力，只要它与斜面的法线的夹角 满不超过 即可，而 正好等于斜面的倾角 ，所以只要满足 不管那个滑块多重，都不会滑下。但若不满足这个条件，它必定会滑下来。

日常生活中有这种体验：别人在斜面上放了一摞书安安稳稳的屹立不倒，老子放张纸都放不稳，不由得怀疑老天太欺负人了！

你还有这样的经验：当你沿着斜向下推水平地面上的物体，如果力与竖直方向夹角 太小，例如 ，则无论你用多大的蛮力，物体都不动。

另一个经验是，楔子可以打入，但一旦打入了，就不担心会被挤出来。如下图所示，黄色的楔子插入后，虽然受到上方的压力，但不会被挤出。

因为对水平推力 来说，作为主动力，它与斜面法线的夹角大于摩擦角，所以导致楔子能动起来；而对竖直力 来说，它与斜面法线的夹角小于摩擦角，无论它多大，都没法推动楔子。

看到这里，你可能会想：楔子虽然不会被挤出来，但是可以被拔出来。的确，钉子都可以被拉出来的，但你绝对没见过钉子被挤出来的事。

锐角之所以叫锐角，就是因为它施加给障碍物的力必定在摩擦角之外，所以能推进。而钝角之所以杀不进去，因为发生了摩擦自锁。

难怪，快刀的刃总是又薄又滑。不过，非洲却有一种刀，钝到根本没法用，因为非洲人只是把它当作一种货币等价物。

楔子在我国古代木建筑中很常见。例如北岳恒山脚下的悬空寺，就是通过在石壁上插入巨大的木楔而建立起来的。

那些木楔利用了膨胀螺丝钉原理，其本质上就是摩擦自锁的物理机制。

至于本文开头提到的锁舌压不进去的事，背后也是类似的原因：发生了摩擦自锁。

下面回到第 01 节提到的交错书页之间的摩擦力的问题。

04、交叠书页为什么会如此抗拉？

到底什么原因导致那些交叠的纸张变得如此强悍呢？

先来看看，两本书的页面交错相叠而形成的结构有什么特点？一般情况下，大概像这个样子：

两书页面交错后，每个书页沿水平方向有三个区域，靠近书脊的一小段是平直的，交叠的部分也是平直的，这两者之间是一段倾斜的非交叠区域，设其宽度为 。

为了便于分析和计算，将书的几个参数给定。设单个书页的厚度为 ，两本书的页数都为 ，每本书的厚度都为 。

很显然，书页之间的力源于相互交叠的纸面间的静摩擦力。设纸面间的摩擦系数确定，只需研究页面间的压力就够了。那么，有哪些因素对这些压力产生贡献呢？

首先，是页面自身重力的影响。

一张单独的纸，自然状态是平的。把它放在桌面上，压力仅仅就由它的重量决定，这当然是毫不足道的。因此你可能会想：仅凭重力导致的压力来产生摩擦力，那似乎不可能太大。

是这样的吗？

你忽略了一个细节，每两个交错的书页之间都存在摩擦力！对足够厚的书来说，这种页面重力的所导致的摩擦力会积累一个很大的值。

我们简单的分析一下。

设有两本书都是 页，每页纸重量为 ，设静摩擦系数为 。则交错之后，从上往下，每两个页面间的最大摩擦力依次为： 因此，这种由重力导致的最大静摩擦力记为参照一包 70g 的 A4 复印纸 (500 张) 的质量是 2.2kg，假设一本书页数也为 页，质量 kg，设摩擦系数为 0.3，则上述最大摩擦力为 6461.53 牛，这相当于 1200 多斤的力，吊起一只大肥猪卓卓有余。

可见，书页自身重力所导致的摩擦力远比你想象的大！

不过，这个值总归是有限的，并且当书竖直方向吊起来时，重力的影响就不存在了。所以，重力肯定不是起决定性作用的因素。

其次，是页面弯曲的影响。

假设地面上有一根铁丝，现在你将其一端用脚踩住，然后抬起另一端，你会感受到一股反抗的力。

这种来自于形变的反抗力是普遍性的，对柔弱的纸张来说，也同样存在。

书页本来是平直的，此时它们是最舒服的。当你把它们交错相叠，这些页面发生了形变，它必然会产生一种反抗的弹力。这些力积累在一起，也会导致交叠部分页面之间的压力增加。

但这部分的计算需要利用弹性力学，比较复杂。这里就不做仔细推导。简单的说，这部分导致的总的压力与纸张的厚度 、书的页数 以及纸张的弹性性质 （刚度）成正比。将这部分压力所导致的最大静摩擦力记作其中 是一个与页数 有关的数。

同样，这部分摩擦力也是有限的，所以它也不是那个起决定作用的因素。

第三个因素，也就是真正起决定作用的因素，是沿着书脊往外的拉力所导致的压力。

设书脊处受拉力为 ，而两本书的总页数为 。故从下往上数的第 页上分摊的水平拉力为

由于页面处于平衡状态，所以页在切斜段的拉力应为 此力沿竖直向下的分量为 任意页面要受到在它之上的全部页面施加的这个力分量，考虑到另一本书页同样如此，因此某第 页受到的下压力为

将此压力 对所有的书页求和，得到总的压力 。由于计算非常复杂，这里就不仔细推了。简单的说，由这部分导致的最大静摩擦力最终可表示为

说明：以上计算细节可参看知乎用户 Huxley 提供的分析过程，即参考文献 [3]

因此，对平放的书，页间总的最大摩擦力为

书被拉动的条件为 ，即 很明显，若上式中 的系数为负值或者零，这个条件就无法满足，也就是无法被拉动。

因此，只要满足 无论拉力多大，拉力都不会超过最大静摩擦力，书页产生摩擦自锁，无法拉开。

所以，书页摩擦自锁的条件是 根据知乎用户 Huxley 的计算结果，当 时，上述条件近似为 其中 为倾斜非交叠区域的宽度， ，为书的厚度。由此可见，越是厚书，且倾斜部分越窄，越容易产生摩擦自锁。

上述分析考虑了重力，若书竖直吊起，重力的影响就没有了，但起决定作用的依然是拉力 的系数，所以上述分析结果依然成立。

好，现在计算一个例子。

设书页的倾斜的非交叠宽度为 10cm，每本书的页数为 100 页，厚度为 1cm，则得满足自锁条件的 应为 这个摩擦系数的要求是很容易满足的。这就解释了，为什么你随便拿一本书，只要耐心的把页面交叠好，实验都会很成功的。

温馨提醒：有人娱乐惯了，图省事像这样来做，实验失败可能性高！

至此终于明白，书页交错产生的摩擦力为什么这么大？因为发生了摩擦自锁。只要书页不被拉断，你的拉力越大，摩擦力也跟着同步增大，且总是比拉力大。

可以想象，这每一张纸就像一个长长的楔子，直插入对方深处。一个楔子也许很薄弱，即使拉不出也可能拉断，但数百个楔子，你可就对付不了啦！

参考文献

• https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.015502

• https://baijiahao.baidu.com/s?id=1639930388412359613

• https://www.zhihu.com/question/30567010/answer/1310750980

本文来自微信公众号：大学物理学 （ID：wuliboke），作者：薛德堡