赌徒谬论：大数定律的错误应用

1913 年 8 月 18 日，在摩纳哥的蒙特卡洛赌场，红黑色轮盘赌桌的最后 10 次旋转中，球都落在了黑色上。人们认为下一次旋转肯定是落在红色上，于是来自整个赌场的赌徒开始在红色上押注。随着轮盘的每一次转动结果都是黑色，人群越来越相信下一轮将是红色的。但最后黑色又连续出现了 16 次，总共连续 出现了 26 次黑色，发生这种情况的概率约为 6600 万分之一。赌徒损失了数百万法郎，因为他们成为赌徒谬论的牺牲品。

如果那天你在蒙特卡洛赌场，你会赌红色还是黑色？在本文中，我们将看到赌徒们到底哪里出了问题，以及他们如何以正确的思维避免惊人的损失。首先，让我们从抛硬币开始讲起。

我们都知道，当我们抛硬币的时候，它会有 50% 的机会朝上，同样也会有 50% 的机会朝下。现在，我抛出硬币，显示的是正面，我又连续抛出 3 次硬币，也都是正面朝上。四次正面朝上的几率是十六分之一或 6.25%，如果再一次抛出硬币，很多人可能会认为这次出现反面的机会更高。如果是这样想，那就落入了赌徒谬误，他们认为独立的过去事件会影响同一随机实验中独立的未来事件。

但这是严重错误的，这枚硬币不会记忆住最后几次的翻转，在下一次翻转中获得正面或反面的机会仍然是二分之一。抛硬币是所谓统计独立的，每个事件都独立于之前和未来的事件。我们倾向于认为机会是自我纠正的，或者必须有一个宇宙平衡，所以才会落入赌徒谬论。

事实上，这种宇宙平衡的信念并不像听起来的那么愚蠢。如果我们抛硬币的次数足够多，我们就会开始看到一些非常有趣的东西。1939 年，一位名叫 J.E Kerrich 的南非数学家去欧洲旅行，但最终被关进了丹麦的监狱，出于好奇或纯粹的无聊，他将一枚硬币抛了一万次并记录了它落在正面的次数。结果显示，抛硬币的次数越多，正面的相对频率就越来越接近 50%。

现代人生活节奏非常快，没有足够的空闲时间抛硬币 10000 次，但我们可以用计算机进行模拟。并且每次模拟我们都能看到相同的模式，正面出现的相对频率总是在 50% 左右。这不仅仅是硬币的一个特征，对于骰子它落在每个面上的几率是六分之一或 16.67%。如果我们投掷 10000 次的骰子，我们会发现每个面出现的相对频率接近于 16.67%。

这种现象称为大数定律，我们所做的试验越多，结果的相对频率就越接近于事件的概率。单次翻转硬币出现正面的概率为 50%，并且在足够多次的翻转之后，正面出现的相对频率约为 50%。这使我们有一种感觉：似乎是机会在自我纠正，存在某种宇宙平衡。

因此，一方面我们具有统计独立性，这告诉我们每一轮都与上一轮无关，赌徒错误地认为过去的结果会影响未来的结果的。但另一方面，我们有大数定律，它告诉告诉我们机会系统最终确实会平衡。所以，赌徒们期望在长时间的黑色之后出现红色似乎是正确的。那么我们如何才能调和这两个看似矛盾的想法？

它被称为大数定律是有原因的，我们只有在经过大量试验后才能看到这种一致性或平衡性。小样本量通常显示出极大的可变性，它更有可能连续看到 26 次黑色。这种现象最著名的例子之一来自比尔・盖茨基金会所做的一项研究。

该基金会研究了学校的教育成果，发现小型学校总是位居榜首，由此推断小型学校会导致更好的教育。该基金会将小型学校技术应用于大型学校，例如减少班级规模和降低师生比例，但这些方法未能产生他们所希望的巨大收益。因为基金会忽略了一个关键的事情，排名垫底的学校也是小学校。并不是小学校表现更好，而是小学校的考试成绩变化更大。一些神童可以使小学校的平均水平显着上升，而在大学校中，这些极端分数会融入更大的平均数中，几乎不会产生多少影响。

轮盘赌桌上连续出现的 26 次黑色，只是一系列数百万次旋转中相对较短的连续性。赌徒们所犯的错误是，将小样本量视为与大样本量相同，但事实上它们之间的差异非常大，这么小的样本量无法遵守大数定律。

本文来自微信公众号：万象经验 （ID：UR4351），作者：Eugene Wang