Python中岭回归的示例分析

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岭回归是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上时改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性（在反复抽样的情况下，样本均值的集合的期望等于总体均值），以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对共线性问题和病态数据的拟合要强于最小二乘法经，常用于多维问题与不适定问题（ill-posed problem）。
岭回归通过引入一个惩罚变量解决了普通最小二乘法的问题。岭回归相关系数是的惩罚残差平方和最小：

是收缩率，既控制模型复杂度的因子。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import linear_model#创建一个希伯特矩阵(高度病态，任何一个元素的点发生变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化)#这里的加法运算类似于矩阵相乘X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])y = np.ones(10)#计算路径n_alphas = 200alphas = np.logspace(-10, -2, n_alphas)clf = linear_model.Ridge(fit_intercept=False)coefs = []for a in alphas:    clf.set_params(alpha=a)    clf.fit(X, y)    coefs.append(clf.coef_)#图形展示#设置刻度ax = plt.gca() #设置刻度的映射 ax.plot(alphas, coefs)#设置x轴的刻度显示方式ax.set_xscale('log')#翻转x轴ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])#设置x、y标签以及标题plt.xlabel('alpha')plt.ylabel('weights')plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization')#使得坐标轴最大值和最小值与数据保持一致plt.axis('tight')plt.show()

上图展示了岭回归模型的解的10个分量随正则化参数Alpha变化而变化的趋势。每一种颜色代表了不同的相关系数向量特征，它随着传入的正则化参数Alpha的变化而变化。由于图像形态，岭回归又称为脊回归。
这个例子展示了岭回归处理病态矩阵（ ill-conditioned matrices）的优势。在病态矩阵里每一个目标变量微小的变动都会产生巨大的方差。对于这种情况就需要设置一个比较合适的正则化参数来减少离差（噪声）。
当正则参数Alpha非常大的时候，正则化的影响支配了二乘法函数，相关系数趋近于0。在路径的结尾，当正则参数alpha趋近于0的时候，结果解趋近于了普通最小二乘法，系数表现出了很大的震荡。

设置正则参数
在实践中要不断的调节正则参数Alpha在上述过程中寻求一种平衡。
RidgeCV实现了岭回归的交叉验证，下面是一种高效的交叉验证方式-留一交叉验证（leave-one-out）：

>>> from sklearn import linear_model>>> clf = linear_model.RidgeCV(alphas=[0.1, 1.0, 10.0])>>> clf.fit([[0, 0], [0, 0], [1, 1]], [0, .1, 1])       RidgeCV(alphas=[0.1, 1.0, 10.0], cv=None, fit_intercept=True, scoring=None,    normalize=False)>>> clf.alpha_                                      0.1

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