Python光学仿真数值分析怎么求解波动方程绘制波包变化图

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波动方程数值解

波动方程是三大物理方程之一，也就是弦振动方程，其特点是时间与空间均为二阶偏导数。其自由空间解便是我们熟知的三角函数形式，也可以写成自然虚指数形式。

一般来说，既然有了精确的解析解，那也就没必要再去做不精确的数值模拟，但数值模拟的好处有两个，一是避免无穷小，从而在思维上更加直观；二是颇具启发性，对于一些解析无解的情况也有一定的处理能力。

对此，我们首先考虑一维波动方程

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef set_y0(x,k,L):    y = np.zeros_like(x)    y[x
其形状为
现考虑让这个光波在 [ 0 , L ] 范围内往返传播，在此采用Dirichlet边界条件，取
至此，我们得到了光场的所有信息，原则上可以预测这个波包的所有行为，其迭代过程为
def wave1d(x,t,k,L):    dx = x[1]-x[0]    dt = t[1]-t[0]    d2 = (dt/dx)**2    y = np.zeros([len(t),len(x)])    y[0,:] = set_y0(x,k,L)    y[1,:] = set_y0(x-dt,k,L)    for n in range(2,len(t)):        y[n] = 2*y[n-1] - y[n-2] - d2*2*y[n-1]        y[n,1:] += d2*y[n-1,:-1]        y[n,:-1] += d2*y[n-1,1:]        #边界条件        y[n,0] = 0        y[n,-1] = 0       return y
由于 y y y是随时间变化的参量，现有的matplotlib.pyplot已经无法满足我们绘制动态图片的需求，所以引入animation来进行绘制，其代码为
import matplotlib.animation as animation#输入时间，自变量，因变量，图题标记def drawGif(t,x,ys,mark="time="):    tAxis = np.linspace(0,len(t)-1,100).astype(int)    fig = plt.figure()    ax = fig.add_subplot(111,xlim=(0,10),ylim=(-1.5,1.5))    ax.grid()    line, = ax.plot([],[],lw=0.2)    time_text = ax.text(0.1,0.9,'',transform=ax.transAxes)    def init():        line.set_data([],[])        time_text.set_text("")        return line, time_text       def animate(i):        y = ys[i]        line.set_data(x,y)        time_text.set_text(mark+str(t[i]))        return line, time_text    # 动态图绘制命令    # 输入分别为画图窗口，动画函数，动画函数输入变量，延时，初始函数    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, tAxis,        interval=200, init_func=init)    #通过imagemagick引擎来保存gif    ani.save('wave.gif',writer='imagemagick')    plt.show()if __name__ == "__main__":    x = np.linspace(0,10,1000)    t = np.linspace(0,12,2041)    k = np.pi*2/1.064    L = 5    y = wave1d(x,t,k,L)    drawGif(t,x,y)
得到结果为
这个图虽然很符合我们的预期，但有些物理过程并不清晰，我们不妨把初始波包设置为只有一个波峰的孤波
def set_y0(x,k,L):    y = np.zeros_like(x)    y[x
其图像为
我们可以清晰地看到，正弦波通过腔壁后，其震动方向发生了变化，此即半波损失。
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