如何编写约瑟夫环问题

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约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。 稍微简化一下。

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

思路：容易想到的就是用环链表来做，构建一个环链表，每个结点的编号为0, 1, ...... n-1。每次从当前位置向前移动m-1步，然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。给出两种方法实现，一种是自定义链表操作，另一种用是STL库的单链表。不难发现，用STL库可以提高编写速度。

struct ListNode{    int num;        //编号    ListNode *next; //下一个    ListNode(int n = 0, ListNode *p = NULL)     { num = n; next = p;}}; //自定义链表实现int JosephusProblem_Solution1(int n, int m){    if(n < 1 || m < 1)        return -1;     ListNode *pHead = new ListNode(); //头结点    ListNode *pCurrentNode = pHead;   //当前结点    ListNode *pLastNode = NULL;       //前一个结点    unsigned i;     //构造环链表    for(i = 1; i < n; i++)    {        pCurrentNode->next = new ListNode(i);        pCurrentNode = pCurrentNode->next;    }    pCurrentNode->next = pHead;     //循环遍历    pLastNode = pCurrentNode;    pCurrentNode = pHead;     while(pCurrentNode->next != pCurrentNode)    {        //前进m - 1步        for(i = 0; i < m-1; i++)        {            pLastNode = pCurrentNode;            pCurrentNode = pCurrentNode->next;        }        //删除报到m - 1的数        pLastNode->next = pCurrentNode->next;        delete pCurrentNode;        pCurrentNode = pLastNode->next;    }    //释放空间    int result = pCurrentNode->num;    delete pCurrentNode;     return result;}//使用标准库int JosephusProblem_Solution2(int n, int m){    if(n < 1 || m < 1)        return -1;     list listInt;    unsigned i;    //初始化链表    for(i = 0; i < n; i++)        listInt.push_back(i);     list::iterator iterCurrent = listInt.begin();    while(listInt.size() > 1)    {        //前进m - 1步        for(i = 0; i < m-1; i++)        {            if(++iterCurrent == listInt.end())                iterCurrent = listInt.begin();        }        //临时保存删除的结点        list::iterator iterDel = iterCurrent;        if(++iterCurrent == listInt.end())            iterCurrent = listInt.begin();        //删除结点        listInt.erase(iterDel);    }     return *iterCurrent;}

上述方法的效率很低，其时间复杂度为O(mn)。当n和m很大时，很难在短时间内得出结果。不过好处就是可以给出n个人出圈的次序。只要在删除前保存一下即可。

下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：

（1）第一个被删除的数为 (m - 1) % n。

（2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。

k -----> 0
k+1 ------> 1
k+2 ------> 2
...
...
k-2 ------> n-2

这是一个n -1个人的问题，如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

（3）第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。

（4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。

o -----> 0
o+1 ------> 1
o+2 ------> 2
...
...

o-2 ------> n-3

这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)

有了递推公式，实现就非常简单了，给出循环的两种实现方式。再次表明用标准库的便捷性。

int JosephusProblem_Solution3(int n, int m){    if(n < 1 || m < 1)        return -1;     int *f = new int[n+1];    f[0] = f[1] = 0;        //f[0]其实用不到的     for(unsigned i = 2; i <= n; i++)        f[i] = (f[i-1] + m) % i; //按递推公式进行计算     int result = f[n];    delete []f;     return result;}int JosephusProblem_Solution4(int n, int m){    if(n < 1 || m < 1)        return -1;     vector f(n+1,0);    for(unsigned i = 2; i <= n; i++)        f[i] = (f[i-1] + m) % i;     return f[n];}

感谢各位的阅读，以上就是"如何编写约瑟夫环问题"的内容了，经过本文的学习后，相信大家对如何编写约瑟夫环问题这一问题有了更深刻的体会，具体使用情况还需要大家实践验证。这里是，小编将为大家推送更多相关知识点的文章，欢迎关注！